Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ） 證明：PA⊥BD；
（Ⅱ） 設PD=AD=1，求直線PC與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos∠DAB，
∴BD2=5AD2﹣2AD2=3AD2 ， 則AB2=AD2+BD2 ， 即BD⊥AD．
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．
∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD，則PA⊥BD；
（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD為PC與平面ABCD所稱的角．
在Rt△BAD中，AD=1，∠DAB=60°，
∴AB=2，則DC=2，
∴tan∠PCD= ．

【解析】（Ⅰ）在△ABD中，由已知結合余弦定理可得BD2=3AD2 ， 進一步得到AB2=AD2+BD2 ， 可得BD⊥AD．再由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BD．由線面垂直的判定可得
BD⊥平面PAD，則PA⊥BD；（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，知∠PCD為PC與平面ABCD所稱的角．在Rt△BAD中，求解直角三角形得AB=2，則DC=2，則tan∠PCD可求．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的性質和空間角的異面直線所成的角，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．