Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓：上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過(guò)的直線交曲線于不同的，兩點(diǎn),交軸于點(diǎn)，已知，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，，利用橢圓的定義，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ）由題意知，當(dāng)直線恰好過(guò)原點(diǎn)，可求得.

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線：，得到，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和韋達(dá)定理，得到.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，，

故由橢圓定義知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為6，焦距為4的橢圓，從而長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，

∴曲線的方程為：.

（Ⅱ）由題意知，

若直線恰好過(guò)原點(diǎn)，則，，，

∴，，則，

，，則，

∴.

若直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線：，，

，，.

則，，

，，

由，得，從而；

由，得，從而；

故.

聯(lián)立方程組得：整理得，

∴，，

∴.

綜上所述，.