Question

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面是菱形，.

（1）證明：；

（2）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接交于點，連接，可證平面，得B1C⊥AO，B10=CO，進而可得AC=AB1；（2）先根據(jù)已知條件證明平面以為原點，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量，然后利用向量公式即可求得結(jié)果．

（1）連接交于點，連接，

∵四邊形是菱形，∴且為中點，

∵，，∴平面，

平面，∴，

為中點，為的垂直平分線，

∴.

（2）不妨設(shè)，則，，

∵，∴，，

又，，∴平面

（方法一）以為原點，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)平面的一個法向量為，則

，

，設(shè)，

直線與平面所成角的正弦值，即直線與平面所成角的正弦值為

（方法二）設(shè)點到平面的距離為，

三棱錐的體積

三棱錐的體積

解，得

直線與平面所成角的正弦值，即直線與平面所成角的正弦值為.