Question

【題目】已知橢圓的離心率,以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線相切．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)對(duì)于直線和點(diǎn),橢圓上是否存在不同的兩點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱,且,若存在實(shí)數(shù)的值,若不存在,說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在， .

【解析】試題分析：(Ⅰ)由得，圓的方程為，由圓心到直線的距離等于半徑可得，故可得橢圓方程；(Ⅱ) 設(shè)， ，直線方程為： ，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理， ， ， ，結(jié)合點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上得，由得的值為.

試題解析：(Ⅰ)由橢圓的離心率得，得………………1分

上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，

以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為，

所以， ， ， ，………………3分

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為………………4分

(Ⅱ)由題意設(shè)， ，直線方程為： .

聯(lián)立消整理可得： ，………………5分

由，解得………………6分

， ，

設(shè)直線之中點(diǎn)為，則，………………7分

由點(diǎn)在直線上得： ，

又點(diǎn)在直線上， ，所以……①………………9分

又， ，

解得： 或……②………………11分

綜合①②，的值為.………………12分