Question

【題目】近幾年來，我國許多地區經常出現干旱現象，為抗旱經常要進行人工降雨，現由天氣預報得知，某地在未來5天的指定時間的降雨概率是：前3天均為，后2天均為，5天內任何一天的該指定時間沒有降雨，則在當天實行人工降雨，否則，當天不實施人工降雨.

(1)求至少有1天需要人工降雨的概率；

(2)求不需要人工降雨的天數的分布列和期望.

Answer 1

【答案】(1)(2) x的分布列是:

x	0	1	2	3	4	5
P

3.1

【解析】(1)5天全不需要人工降雨的概率是P1=()3·()2=,故至少有1天需要人工降雨的概率是1-P1=1-=.

(2)x的取值是0,1,2,3,4,5,由(1)知5天不需要人工降雨的概率是:P(x=5)=P1=,

4天不需要人工降雨的概率是:

P(x=4)=()3×+()3()2=

=,

3天不需要人工降雨的概率是:

P(x=3)=()3()2+()3()()+()3()2=,

2天不需要人工降雨的概率是:

P(x=2)=()3()2+()3()×()+()3×()2=,

1天不需要人工降雨的概率是:

P(x=1)=()3()2+()3()()=,

0天不需要人工降雨的概率是:

P(x=0)=()3()2=,

故不需要人工降雨的天數x的分布列是:

x	0	1	2	3	4	5
P

不需要人工降雨的天數x的期望是:

E(x)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=3.1.

【方法技巧】求離散型隨機變量均值與方差的基本方法

(1)定義法:已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差,可直接按定義(公式)求解.

(2)性質法:已知隨機變量ξ的均值與方差,求ξ的線性函數η=aξ+b的均值與方差,可直接利用均值、方差的性質求解.

(3)公式法:如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布,二項分布等),可直接利用它們的均值、方差公式求解.