Question

如圖所示,在直角坐標系xOy中,點P到拋物線C:y²=2px(p>0)的準線的距離為.點M(t,1)是C上的定點,A,B是C上的兩動點,且線段AB被直線OM平分.

(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面積的最大值.

Answer 1

(1)    (2)

解:(1)由題意知得
(2)由(1)知M(1,1),
直線OM的方程為y=x,

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),線段AB的中點為Q(m,m).
由題意知,
設直線AB的斜率為k(k≠0).
由
得(y₁-y₂)(y₁+y₂)=x₁-x₂,
故k·2m=1,
所以直線AB的方程為y-m=(x-m),
即x-2my+2m²-m=0.
由消去x,
整理得y²-2my+2m²-m=0,
所以Δ=4m-4m²>0,
y₁+y₂=2m,y₁y₂=2m²-m.
從而|AB|=·|y₁-y₂|=·.
設點P到直線AB的距離為d,
則d=.
設△ABP的面積為S,則
S=|AB|·d=|1-2(m-m²)|·.
由Δ=4m-4m²>0,得0<m<1.
令u=,0<u≤,則S=u(1-2u²).
設S(u)=u(1-2u²),0<u≤,則S′(u)=1-6u².
由S′(u)=0,得u=∈,
因此S(u)在單調遞增,在單調遞減,
所以S(u)_max=S=.
故△ABP面積的最大值為.