Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；

（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最小值為；（II）

【解析】試題分析： 在上為減函數(shù)，等價(jià)于在上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得

命題“若存在, ，使成立”等價(jià)于

“當(dāng)時(shí)，有 ”， 由易求，從而問題等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有”，分 , 兩種情況討論:

當(dāng)是易求，當(dāng)時(shí)可求得的值域?yàn)?/span>，再按

兩種情況討論即可

解析：（1）由已知得，

因在上為減函數(shù)，故在上恒成立。

所以當(dāng)時(shí)。

又，

故當(dāng)時(shí)，即時(shí)， .

所以，于是，故的最小值為.

（2）命題“若存在, ，使成立”等價(jià)于

“當(dāng)時(shí)，” ”，

由（1），當(dāng)時(shí)， ， .

問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”.

當(dāng)，由（1），在為減函數(shù)，

則，故.

當(dāng)時(shí)，由于在上的值域?yàn)?/span>

（i），即， 在恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是， ，矛盾。

（ii），即，由的單調(diào)性和值域知，

存在唯一，使，且滿足：

當(dāng)時(shí)， ， 為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ， 為增函數(shù)；

所以， ，

所以， ，與矛盾。

綜上得