Question

若函數(shù)h(x)滿足

（1）h(0)=1，h(1)=0；

（2）對(duì)任意，有h(h(a))=a；

（3）在（0,1）上單調(diào)遞減。則稱h(x)為補(bǔ)函數(shù)。已知函數(shù)

（1）判函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（2）若存在，使得h(m)=m，若m是函數(shù)h(x)的中介元，記時(shí)h(x)的中介元為x_n，且，若對(duì)任意的，都有S_n< ,求的取值范圍；

（3）當(dāng)=0，時(shí)，函數(shù)y= h(x)的圖像總在直線y=1-x的上方，求P的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

 見解析

【解析】（1）函數(shù)是補(bǔ)函數(shù)。證明如下：

①；

②；

③令，有，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912462104639747/SYS201207091246566088514997_DA.files/image006.png">，所以當(dāng)時(shí)，，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，故函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減。

（2）   當(dāng)，由，得： 

①當(dāng)時(shí)，中介元；

②當(dāng)且時(shí)，由（*）可得或；

得中介元，綜上有對(duì)任意的，中介元（）

于是，當(dāng)時(shí)，有=

當(dāng)n無限增大時(shí)， 無限接近于， 無限接近于，故對(duì)任意的，成立等價(jià)于，即 ；

（3）   當(dāng)時(shí)， ，中介元是

①當(dāng)時(shí)， ，中介元為，所以點(diǎn)不在直線y=1-x的上方，不符合條件；

②當(dāng)時(shí)，依題意只須在時(shí)恒成立，也即在時(shí)恒成立，設(shè)，，則，

由可得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912462104639747/SYS201207091246566088514997_DA.files/image049.png">=1，所以當(dāng)時(shí)， 恒成立。

綜上：p的取值范圍為（1，+）。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的新定義，函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用以及分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 高考中，導(dǎo)數(shù)解答題一般有以下幾種考查方向：一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；二、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，最值；三、用導(dǎo)數(shù)求最值的方法證明不等式.來年需要注意用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的考查.