Question

探究函數f（x）=x+

4

x

，x∈（-∞，0）的最大值，并確定取得最大值時x的值．列表如下：
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．

x	…	-3	-2.3	-2.2	-2.1	-2	-1.9	-1.7	-1.5	-1	-0.5	…
y	…	-4.3	-4.04	-4.02	-4.005	-4	-4.005	-4.05	-4.17	-5	-8.5	…

（1）函數f（x）=x+

4

x

，x∈（-∞，0）在區間

（-∞，-2）

上為單調遞增函數．當x=

-2

時，f（x）_最大=

-4

．
（2）證明：函數f（x）=x+

4

x

在區間[-2，0）為單調遞減函數．
（3）若函數h(x)=

x2-ax+4

x

在x∈[-2，-1]上，滿足h（x）≥0恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）由表格可知函數f（x）=x+

4

x

在（-∞，-2）上遞增；當x=-2時，y_最大=4．
（2）證明單調性可用定義法．
（3）h（x）≥0恒成立，只需h（x）_min≥0．函數h（x）變形為h（x）=x+

4

x

-a，借用（2）中函數的單調性求出最小值．

解答：解：（1）由表格可知，f（x）=x+

4

x

在（-∞，0）上函數值先增大后減小，單調增區間為（-∞，-2），且當x=-2時f（x）_最大=-4．
（2）證明：設x₁，x₂∈[-2，0），且x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-（x2+

4

x2

）=x₁-x₂+

4

x1

-

4

x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（-2，0）
∴0＜x₁x₂＜4
∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴函數在（-2，0）上為減函數．
（3）函數h(x)=

x2-ax+4

x

=x+

4

x

-a，由（2）知，x+

4

x

在x∈[-2，-1]上單調遞減，
所以h（x）_min=h（-1）=-5-a．
h（x）≥0恒成立，只需h（x）_min≥0，
即-5-a≥0，解得a≤-5．

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，函數的單調性的判斷與證明，直觀判斷，定義證明對勾函數的性質是解答本題的關鍵．