Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）直線為曲線在處的切線，求實數；

（Ⅱ）若，證明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）． （Ⅱ） .

【解析】試題分析：

(1)由導函數與切線之間的關系可得;

(2)原不等式等價于即證： ， 設，結合構造出的函數的性質可得.

試題解析：

（Ⅰ）解法一：由已知得，所以切點坐標

又，得，

，所以．

（Ⅱ）即證： ，即證： ，

因為，即證： ，

設， ，令

（i）當時， ， 單調遞增， ， 單調遞增，

，滿足題意；

（ii）當時， ，解得，

當， ， 單調遞減，

當， ， 單調遞增，

此時，

因為， ，即， 單調遞增， ，滿足題意；

綜上可得，當時， ．

解法二: （Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）即證： ，即證： ，

因為，即證： ，

因為，即證，

令， ， ， 單調遞增， ，

單調遞增， ．

所以，故原不等式得證．

點睛:導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系． (2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數． (3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題． (4)考查數形結合思想的應用．