Question

 (08年泉州一中適應性練習文)（12分）

  如圖：在三棱錐中，面，是直角三角形，,點D、E、F分別為AC、AB、BC的中點。

（1）求證： ；

（2）求直線與平面所成角的大小；

（3）求二面角的正切值。

 

Answer 1

解析：解法一（1）連結BD。在中，  

  ，點D為AC的中點，

 

  又面ABC，即BD為PD在平面ABC內的射影， 

  、分別為AB、BC的中點，

  ，

.            （3分）                                       

（2）平面

連結BD交EF于點0，平面PBD，

  為直線PF與平面PBD所成的角，        （4分）

  面又

 

  在中，  ，

即直線PF與平面PBD所成角的大小為.（8分）

（3）過點B作于點M，連結,

  平面PBC，即BM為EM在平面PBC內的射影，

  為二面角的平面角.               （9分）

  中，，

  ，即二面角的正切值為.    （12分）

解法二  建立空間直角坐標系，如圖，

則   （2分）

（1）

    

      （4分）                                         

（2）由已知可得，為平面PBD的法向量，

直線PF與面PBD所成角的正弦值為.

直線PF與面PBD所成角的為arcsin.                 （8分）

（3）設平面PEF的一個法向量為

 

 令,

 

由已知可得，向量為平面PBF的一個法向量，

二面角的正切值為                      （12分）