Question

過橢圓C：

x2

6

+

y2

2

=1的右焦點F作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓交于A、B兩點，且坐標原點O到直線l的距離d滿足：0＜d＜

2 3

3

.
（I）證明點A和點B分別在第一、三象限；
（II）若

OA

•

OB

＞-

4

3

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設直線方程為y=k（x-2），由0＜d＜

2 3

3

及k＞0，可知0＜k＜

2

2

.設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A、B坐標是方程組

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

的解，
消去y得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，再由根與系數的關系可以判斷出A、B分別在第一、三象限．
（II）由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

12k2-6

1+3k2

-

2k2

1+3k2

=

10k2-6

1+3k2

＞-

4

3

，能夠推導出k的取值范圍．

解答：解：（I）由已知，a=

6

，b=

2

，則c=2，F(2，0)，直線方程為y=k（x-2），由0＜d＜

2 3

3

及k＞0，得0＜

2k

1+k2

＜

2 3

3

，解這個不等式，得0＜k＜

2

2

.
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A、B坐標是方程組

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

的解，
消去y得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，則x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

，
y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=k2(

12k2-6

1+3k2

-2•

12k2

1+3k2

+4)=-

2k2

1+3k2

＜0，
∵0＜k＜

2

2

，∴

12k2-6

1+3k2

＜0，即x1x2＜0，
不妨設x₁＜0，則x₂＞0，此時y₁=k（x₁-2）＜0，于是y₂＞0，
A、B分別在第一、三象限．
（II）由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

12k2-6

1+3k2

-

2k2

1+3k2

=

10k2-6

1+3k2

＞-

4

3

，
注意到k＞0，解得k＞

3

3

.所以k的取值范圍是(

3

3

，

2

2

).

點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．