Question

【題目】已知三棱柱ABC﹣A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′=3，E、F分別在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．
（1）求證：BB′⊥底面ABC；
（2）在棱A′B′上是否存在一點M，使得C′M∥平面BEF，若存在，求 值，若不存在，說明理由；
（3）求棱錐A′﹣BEF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取BC中點O，連接AO，因為三角形ABC是等邊三角形，所以AO⊥BC，

又因為平面BCC′B′⊥底面ABC，AO平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC=BC，

所以AO⊥平面BCC′B′，

又BB′平面BCC′B，所以AO⊥BB′．

又BB′⊥AC，AO∩AC=A，AO平面ABC，AC平面ABC．

所以BB′⊥底面ABC

（2）解：顯然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一點M，使得C′M∥平面BEF，

過M作MN∥AA′交BE于N，連接FN，MC′，所以MN∥CF，即C′M和FN共面，

所以C′M∥FN，

所以四邊形C′MNF為平行四邊形，所以MN=2，

所以MN是梯形A′B′BE的中位線，M為A′B′的中點．即

（3）解：
【解析】（1）取BC中點O，先證AO⊥BC，再由面面垂直的性質定理證得AO⊥面BCC'B'，再由線面垂直的判定定理即可得證；（2）顯然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一點M，使得C′M∥平面BEF，可通過線面平行的判斷定理，即可證得；（3）利用等體積轉化，即可求棱錐A′﹣BEF的體積．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．