Question

已知函數
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為，由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍即得f（x）的單調遞增區間．
（2）不等式|f（x）-m|＜2，即 m-2＜f（x）＜m+2，由x的范圍求得角的范圍，再利用正弦函數的定義域值域求得 1≤f（x）≤2，結合題意得到m-2＜1 且 m+2＞2，由此求得實數m的取值范圍．
解答：解：（1）=-cos（+2x）-cos2x=sin2x-cos2x=．
由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，，k∈z．
再由，可得 ，故f（x）的單調遞增區間 ．
（2）不等式|f（x）-m|＜2，即 m-2＜f（x）＜m+2．
而 時，≤2x-≤，∴≤sin（2x-）≤1，1≤f（x）≤2．
∵不等式|f（x）-m|＜2在上恒成立，
∴m-2＜1 且 m+2＞2，
解得 0＜m＜3，故實數m的取值范圍為（0，3）．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，正弦函數的單調性，函數的恒成立問題，得到 m-2＜1 且 m+2＞2，是解題的難點．