Question

已知函數f（x）=aln（x+1）-x²，在區間（-1，0）內任取兩個實數p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A、[6，+∞）
• B、[4，+∞）
• C、[-

  1

  8

  ，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，可知函數圖象上在區間（0，1）內任意兩點連線的斜率大于1，
轉化為函數的導數大于1在（0，1）內恒成立，把原函數求導后分離參數a，然后利用二次函數的單調性求
y=2x²+3x+1在[0，1]上的最大值，則答案可求．

解答： 解：

f(p+1)-f(q+1)

p-q

表示點（p+1，f（p+1））與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實數p，q在區間（-1，0）內，故p+1 和q+1在區間（0，1）內．
∵不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
∴函數圖象上在區間（0，1）內任意兩點連線的斜率大于1，
故函數的導數大于1在（0，1）內恒成立．
由函數的定義域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＞1在（0，1）內恒成立．
即a＞2x²+3x+1在（0，1）內恒成立．
由于二次函數y=2x²+3x+1在（0，1）上是單調增函數，
故x=2時，y=2x²+3x+1在[0，1]上取最大值為6，
∴a≥6．
∴實數a的取值范圍為[6，+∞）．
故選：A．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點出的切線方程，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用函數的單調性求函數的最值，是中檔題．