Question

【題目】如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四邊形ABEF是正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD，M為AF的中點， （I）求證：AC⊥BM；
（II）求異面直線CE與BM所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：∵四邊形ABEF為正方形，∴BE⊥AB．

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BE平面ABEF．

∴BE⊥平面ABCD．

∵AC平面ABCD，∴BE⊥AC．

設AD=1，則 ，

∴AC⊥AB且AB∩BE=B，

∴AC⊥平面ABEF，又BM平面ABEF．∴AC⊥BM．

（II）取BC的中點記為Q，BE的中點記為N，連接MN，QN，DQ，

易得 ．

在直角梯形ABCD中，由BC=2AD=2DC，

可得 ，

∴四邊形DMNQ為平行四邊形，

可得DM∥QN．

故DM∥CE，

那么∠DMB即為異面直線CE與BM所成的角（或其補角）

設BC=2a，則AD=DC=a，

可得 ． ．

得異面直線CE與BM所成角的余弦值為 ．

【解析】（I）線線垂直轉化為線面垂直，要證明AC⊥BM；只需證明BE⊥平面ABCD，即可．（II）取BC的中點記為Q，BE的中點記為N，連接MN，QN，DQ，易得 ．在直角梯形ABCD中，由BC=2AD=2DC可得 ，所以四邊形DMNQ為平行四邊形，可得DM∥QN．故DM∥CE，∠DMB即為異面直線CE與BM所成的角（或其補角），利用余弦定理求解即可．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．