Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠DAB=60°.

(1)證明：AD⊥PB.

(2)若PB=，AB=PA=2，求三棱錐P-BCD的體積。

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)1

【解析】

(1)取AD的中點O, 連接P0，BO，BD，利用三線合一得出BO⊥AD，PO⊥AD，故AD⊥平面PBO，，于是AD⊥PB。（2）利用勾股定理得出PO⊥BO，可得PO⊥平面ABCD，用棱錐的體積公式計算即可

(1)證明:取AD的中點O，連接P0，BO，BD，

∵底面ABCD是等邊三角形

∴BO⊥AD，

又∵PA=PD，即ΔPAD等腰三角形，

∴PO⊥AD，

又∵POBO=0.

∴AD⊥平面PBO，

又∵PB平面PBO.

∴AD⊥PB；

(2)解:AB=PA=2

∴由（1）知ΔPAD是邊長為2的正三角形，則PO=.

又∵PB=，

∴PO2+BO2=PB2，即PO⊥BO，

又由(1)知，PO⊥AD.且BOAD=O.

∴PO⊥平面ABCD.

∴

∴三棱錐P-BCD的體積為1.