Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中點(diǎn)，面PAC⊥面ABCD．

（1）證明：ED∥面PAB；

（2）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明過程如解析；（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．

試題解析：（Ⅰ）證明：取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF．

∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．

又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，

則四邊形ADEF是平行四邊形．

∴DE∥AF，又DE面ABP，AF面ABP，∴ED∥面PAB

（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，

∴四邊形ADCM是平行四邊形，

∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．

過D作DG⊥AC于G，

∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，

∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．

過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，

∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．

在△ADC中，，連接AE，．

在Rt△GDH中，，

∴，

即二面角A﹣PC﹣D的余弦值

法二、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC，且AD=MC．

∴四邊形ADCM是平行四邊形，

∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上，

∴AB⊥AC．

∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．

如圖以A為原點(diǎn)，方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．

可得，．

設(shè)P（x，0，z），（z＞0），依題意有，，

解得．

則，，．

設(shè)面PDC的一個(gè)法向量為，

由，取x0=1，得．

為面PAC的一個(gè)法向量，且，

設(shè)二面角A﹣PC﹣D的大小為θ，

則有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．