Question

【題目】已知函數f（x）=4x+a2x+3，a∈R．
（1）當a=﹣4時，且x∈[0，2]，求函數f（x）的值域；
（2）若關于x的方程f（x）=0在（0，+∞）上有兩個不同實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣4時，令t=2x，

由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y=t2﹣4t+3=（t﹣2）2﹣1

當t=2時，ymin=﹣1；當t=4時，ymax=3．

∴函數f（x）的值域為[﹣1，3]

（2）解：令t=2x，由x＞0知t＞1，且函數t=2x在（0，+∞）單調遞增．

∴原問題轉化為方程t2+at+3=0在（1，+∞）上有兩個不等實根，求a的取值范圍．

設g（t）=t2+at+3，則 ，即 ，解得 ．

∴實數a的取值范圍是

【解析】（1）把a=﹣4代入函數解析式，換元后利用配方法求函數f（x）的值域；（2）令t=2x ， 由x的范圍得到t的范圍，則問題轉化為方程t2+at+3=0在（1，+∞）上有兩個不等實根，求a的取值范圍．然后結合該二次方程對應的二次函數圖象與t軸的交點列不等式組求解a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數在閉區間上的最值的相關知識，掌握當時，當時，；當時在上遞減，當時，，以及對函數的零點與方程根的關系的理解，了解二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．