Question

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數方程為為參數，曲線上的點的極坐標分別為．

（1）過O作線段的垂線，垂足為H，求點H的軌跡的直角坐標方程；

（2）求兩點間的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先將線的參數方程化為直角坐標方程，的極坐標化為直角坐標，代入曲線方程，化簡得，再根據三角形中等面積法，得到，從而得H的軌跡是圓，得到點H的軌跡的直角坐標方程；

（2）表示出兩點間的距離，再設，利用關系式，將也用表示出來，則可得，，再構造函數，利用導數研究函數的性質，求出兩點間的距離的取值范圍.

（1）因為曲線的參數方程為所以曲線的普通方程為．

因為曲線上的點的極坐標分別為，

所以點的直角坐標分別為

，

代入曲線的方程得，

所以，

所以兩個式子相加得．

由題意可知，所以，

所以點H的軌跡是圓， 所以點H的軌跡的方程為．

（2）兩點間的距離為，設，則，

令函數，

所以，所以在區間上是減函數，

在區間上是增函數． 又，

所以函數的最大值為13，最小值為，

所以兩點間的距離的取值范圍是．