Question

【題目】在數列中，若且則稱為“數列”.設為“數列”，記的前項和為

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）證明：中總有一項為或.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據遞推公式列出數列中的項，找規律，發現周期性即可得到答案;

（2）根據題意分情況進行求解即可得到答案;

（3）首先證明：一定存在某個，使得成立，再進行檢驗即可得到答案.

（1）當時，中的各項依次為，

即數列從第四項開始每三項是一個周期，

所以，，

，

所以.

（2）① 若是奇數，則是偶數，，

由，得，解得，適合題意.

② 若是偶數，不妨設，則.

若是偶數，則，由，

得，此方程無整數解；

若是奇數，則，由，

得，此方程無整數解.

綜上，.

（3）首先證明：一定存在某個，使得成立.

否則，對每一個，都有，

則在為奇數時，必有；

在為偶數時，有，或.

因此，若對每一個，都有，則單調遞減，

注意到，顯然這一過程不可能無限進行下去，

所以必定存在某個，使得成立.

經檢驗，當，或，或時，中出現；

當時，中出現，

綜上，中總有一項為或.