Question

已知O是△ABC內任意一點，連接AO、BO、CO并延長交對邊于A′、B′、C′，則

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

=1，運用類比猜想，對于空間中四面體A-BCD有

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

+

OD′

DD′

=1

．

Answer 1

分析：先根據所給的定理寫出猜想的定理，把面積類比成體積，把面積之和等于1，寫成體積之和等于1，再進行證明．

解答：解：猜想：若O四面體ABCD內任意點，AO，BO，CO，DO并延長交對面于A′，B′，C′，D′，則

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

+

OD′

DD′

=1
用“體積法”證明如下：

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

+

OD′

DD′

=

VO-BCD

VA-BCD

+

VO-CAD

VA-BCD

+

VO-ABD

VC-ABD

+

VO-ABC

VD-ABC

=

VABCD

VABCD

=1
故答案為：

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

+

OD′

DD′

=1

點評：本題考查類比推理，是一個基礎題，這種題目的解題的關鍵是要根據所給的定理類比出可能的定理，后面再進行證明．