Question

【題目】已知等差數列與等比數列是非常數的實數列，設.

（1）請舉出一對數列與，使集合中有三個元素；

（2）問集合中最多有多少個元素？并證明你的結論；

Answer 1

【答案】(1) .

(2)3個，證明見解析.

【解析】分析：（1），則；（2）不妨設，由，令，原問題轉化為關于的方程最多有多少個解，可以證明當時，方程①最多有個解：時，方程①最多有個解，從而可得結果.

詳解：（1），則

（2）不妨設，由

令，原問題轉化為關于的方程

①

最多有多少個解.

下面我們證明：當時，方程①最多有個解：時，方程①最多有個解

當時，考慮函數，則

如果，則為單調函數，故方程①最多只有一個解；

如果，且不妨設由得由唯一零點，于是當時，

恒大于或恒小于，當時，恒小于或恒大于

這樣在區間與上是單調函數，故方程①最多有個解

當時，如果

如果為奇數，則方程①變為

顯然方程最多只有一個解，即最多只有一個奇數滿足方程①

如果為偶數，則方程①變為

，由的情形，上式最多有個解，即滿足①的偶數最多有個

這樣，最多有個正數滿足方程①

對于，同理可以證明，方程①最多有個解.

綜上所述，集合中的元素個數最多有個.

再由（1）可知集合中的元素個數最多有個.