Question

【題目】為方便市民休閑觀光，市政府計劃在半徑為200米，圓心角為120°的扇形廣場內（如圖所示），沿△ABC邊界修建觀光道路，其中A、B分別在線段CP、CQ上，且A、B兩點間距離為定長 米．

（1）當∠BAC=45°時，求觀光道BC段的長度；
（2）為提高觀光效果，應盡量增加觀光道路總長度，試確定圖中A、B兩點的位置，使觀光道路總長度達到最長？并求出總長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，由已知及正弦定理得 ，

即 ，

∴

（2）解：設CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，

在△ABC中，AB2=AC2+CB2﹣2ACCBcos120°，即 ，

∴ ，

故x+y≤120，當且僅當x=y=60時，x+y取得最大值，

∴當A、B兩點各距C點60米處時，觀光道路總長度達到最長，最長為 ．

【解析】（1）由已知及正弦定理即可得解BC的值．（2）設CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，利用余弦定理可求 ，結合基本不等式可求x+y≤120，從而可求觀光道路總長度最長值．