Question

【題目】已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]為奇函數(shù)，且|logaφ|＜1}的子集個(gè)數(shù)為4，則a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（ ）∪（ ）
【解析】解：∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]為奇函數(shù)，

∴f（0）=sin（﹣2φπ）+cos（﹣2φπ）=cos2φπ﹣sin2φπ=0，

∴cos2φπ=sin2φπ，即tan2φπ=1，∴2φπ=kπ+ ，則φ= + ，k∈Z．

驗(yàn)證φ= + ，k∈Z時(shí)，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]

=sin[（x﹣k﹣ ）π]+cos[（x﹣k﹣ ）π]=sin（πx﹣ ）+cos（ ）= 為奇函數(shù)．

∴φ= + ，k∈Z．

∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]為奇函數(shù)，且|logaφ|＜1}的子集個(gè)數(shù)為4，

∴滿足|logaφ|＜1的φ有2個(gè)，即滿足﹣1＜logaφ＜1的φ有2個(gè)．

分別取k=0，1，2，3，得到φ= ， ， ， ，

若0＜a＜1，可得a∈（ ）時(shí)，滿足﹣1＜logaφ＜1的φ有2個(gè)；

若a＞1，可得a∈（ ）時(shí)，滿足﹣1＜logaφ＜1的φ有2個(gè)．

則a的取值范圍為（ ）∪（ ）．

所以答案是：（ ）∪（ ）．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇即可以解答此題．