Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn=n2﹣n，數列{bn}的前n項和Tn=4﹣bn ．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）設cn= anbn ， 求數列{cn}的前n項和Rn的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數列{an}的前n項和Sn=n2﹣n，

∴n=1時，a1=0；

n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2，

n=1時也成立，

∴an=2n﹣2．

∵數列{bn}的前n項和Tn=4﹣bn，

∴n=1時，b1=4﹣b1，解得b1=2．

n≥2時，bn=Tn﹣Tn﹣1=4﹣bn﹣（4﹣bn﹣1），化為：bn= ．

∴數列{bn}是等比數列，首項為2，公比為 ．

∴bn= = ．

（2）解：cn= anbn= （2n﹣2）× =（n﹣1）× ．

∴數列{cn}的前n項和Rn=0+1+2× +3× +…+（n﹣1）× ．

= +2× +…+（n﹣2）× +（n﹣1）× ，

∴ Rn=1+ +…+ ﹣（n﹣1）× = ﹣（n﹣1）× =2﹣（n+1）× ．

∴Rn=4﹣（n+1）×

【解析】（1）利用遞推關系可得an；利用遞推關系與等比數列的通項公式可得bn ． （2）利用“錯位相減法”、等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．