Question

【題目】在三棱柱中，平面，，點、分別在棱、上，且，，，.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）要證平面,只需證垂直于該面中的兩條相交直線即可,通過三角形的相似，和線面垂直可證得，，從而可證得線面垂直；

(2) 要求出直線與平面所成角的正弦值，關鍵在于需求出點到平面的距離，運用三棱錐的等積法，可求得點到平面的距離，從而求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明:如圖, ∵平面，平面，∴，

又∵，∴，且，平面,平面,∴平面,

又∵點、分別在棱、上，且，，，∴，

∴平面,又∵平面,∴，

在矩形中，，∴，∴，

且，平面,平面,∴平面，

所以平面；

（2）設點到在平面的距離為，則有，而由（1）得平面,∴，而，，

由（1）可得平面,∴點到平面的距離為的長，

∴，而，

設直線與平面所成角為，則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.