Question

關于函數f（x）=cosxsin2x，下列說法中正確的是

①②④

①y=f（x）的圖象關于（π，0）中心對稱；②y=f（x）的圖象關于直線x=

π

2

對稱
③y=f（x）的最大值是

3

2

；         ④f（x）即是奇函數，又是周期函數．

Answer 1

分析：①根據中心對稱的定義，驗證f（2π-x）+f（x）=0是否成立即可判斷其正誤；
②根據軸對稱的條件，驗證f（π-x）=f（x）成立與否即可判斷其正誤；
③可將函數解析式換為f（x）=2sinx-2sin³x，再換元為y=2t-2t³，t∈[-1，1]，利用導數求出函數在區間上的最值即可判斷正誤；
④利用奇函數的定義與周期函數的定義直接證明．

解答：解：①∵f（2π-x）+f（x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的圖象關于（π，0）中心對稱，∴①正確；
②∵f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的圖象關于x=

π

2

對稱，故②正確；
③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，令t=sinx∈[-1，1]，則y=g（t）=2t-2t³，t∈[-1，1]，
則y′=2-6t²，令y′＞0解得-

3

3

＜t＜

3

3

，
故y=2t-2t³，在[-

3

3

，

3

3

]上遞增，在[-1，-

3

3

]和[

3

3

，1]上遞減，又g（-1）=0，g（

3

3

）=

4 3

9

，故函數的最大值為

4 3

9

，∴③錯誤；
④∵f（-x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函數，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函數的周期，∴函數即是奇函數，又是周期函數
，∴④正確．
綜上知，說法中正確的是①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查與函數有關的性質的判斷，要求熟練掌握中心對稱，軸對稱性成立的條件，利用導數求函數在閉區間上的最值，函數奇偶性與周期性的判定，涉及到的知識較多，綜合性強．