Question

8、關于函數f（x）=2^x-2^-x（x∈R）有下列三個結論：①f（x）的值域為R；②f（x）是R上的增函數；③對任意x∈R，有f（-x）+f（x）=0成立；其中所有正確的序號為（　　）

A、①②

B、①③

C、②③

D、①②③

Answer 1

分析：先判定函數的單調性，利用增函數與減函數作差為增函數進行判定②的真假，然后根據單調性求函數的值域可判定①的真假，③是考查函數的奇偶性的，要判斷是否關于原點對稱，須看是否為奇函數，須用定義

解答：解：因為y=2^x在R上是增函數，且y=2^-x在R上是減函數，所以f（x）=2^x-2^-x在R上是增函數，所以②對，
f（x）=2^x-2^-x在R上是增函數當x→-∞則y→-∞，當x→+∞則y→+∞，則f（x）的值域為R，所以①對
因為f（x）=2^x-2^-x，故f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），則f（x）為奇函數，對任意x∈R，有f（-x）+f（x）=0成立，所以③對，
故正確的結論是①②③．
故選D

點評：本題主要考查了指數函數的單調性與特殊點，以及指數函數的圖象與性質，屬于基礎題．