Question

關于函數f（x）=（x²-2x-3）e^x，給出下列四個判斷：
①f（x）＜0的解集是{x|-1＜x＜3}；
②f（x）有極小值也有極大值；
③f（x）無最大值，也無最小值；
④f（x）有最大值，無最小值．
其中判斷正確的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③

D．①④

Answer 1

分析：①解不等式即可，要注意e^x＞0．②利用導數判斷極值情況．③由函數的極值去判斷函數的最值情況．④由函數的極值去判斷函數的最值情況．

解答：解：①因為e^x＞0，所以由f（x）＜0得）=（x²-2x-3）e^x＜0，即x²-2x-3＜0，解得-1＜x＜3，即f（x）＜0的解集是{x|-1＜x＜3}，所以①正確．
②函數的導數為f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x-3）e^x=（x²-5）e^x，由f'（x）＞0，得x＞

5

或x＜-

5

．由f'（x）＜0得-

5

＜x＜

5

，
所以當x=

5

時函數取得極小值．當x=-

5

時函數取得極大值．所以②正確．
③由②知，當x＞

5

或x＜-

5

時，函數單調遞增，所以f（x）無最大值，也無最小值．所以③正確．
④由③知f（x）無最大值，也無最小值，所以④錯誤．
所以判斷正確的是①②③．
故選A．

點評：本題的考點是利用導數研究函數的極值和最值問題．要熟練掌握導數符號與極值和最值之間的對應關系．