Question

設函數，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝3．

(Ⅰ)求y＝f(x)的解析式：

(Ⅱ)證明：函數y＝f(x)的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

(Ⅲ)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)，于是 　　解得　或 　　因，故． 　　(Ⅱ)證明：已知函數都是奇函數， 　　　所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形． 　　而函數． 　　可知，函數的圖像按向量a＝平移，即得到函數的圖象，故函數的圖像是以點為中心的中心對稱圖形． 　　(Ⅲ)證明：在曲線上任一點． 　　由知，過此點的切線方程為 　　． 　　令得，切線與直線交點為． 　　令得，切線與直線交點為． 　　直線與直線的交點為(1，1)． 　　從而所圍三角形的面積為． 　　所以，所圍三角形的面積為定值2．

提示：

導數與函數的結合一直是高考的熱點，要重點關注 　　本題是函數與導數的綜合題，主要考查導數的應用，以及函數的有關性質，以及函數與方程的思想，以及分析問題與解決問題的能力．