Question

已知a＞0，函數f(x)＝x²-2ax，設a≤x₁≤2a，記曲線y＝f(x)在點M(x₁，f(x₁))處的切線為l.

（1）求l的方程；

（2）設l與曲線y＝f(x)的對稱軸交于N點，設N點的縱坐標為y₀，求y₀的取值范圍.

Answer 1

解:（1）f′(x)＝2x-2a，

曲線y＝f(x)在點M(x₁，f(x₁))處的切線l的斜率為2x₁-2a，

又f(x₁)＝x₁²-2ax₁，

∴l的方程為y-(x₁²-2ax₁)＝(2x₁-2a)(x-x₁),

即y＝(2x₁-2a)x-x₁².

（2）∵f(x)＝x²-2ax＝(x-a)²-a²，

∴曲線y＝f(x)的對稱軸方程為x＝a，設N點的橫坐標為a，

將x＝a代入l的方程,

得N點的縱坐標為y₀＝(2x₁-2a)a-x₁²＝-(x₁-a)²-a².

∵在區間\上y₀是x₁的減函數，

當x₁＝a時，y₀有最大值-a²;當x₁＝2a時，y₀有最小值-2a².

∴-2a²≤y₀≤-a².