Question

（2007•楊浦區二模）（文）設F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0且m≠n）的兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，

3

2

）到兩個焦點的距離之和等于4，求橢圓C的方程．
（2）如果點P是（1）中所得橢圓上的任意一點，且

PF1

•

PF2

=0，求△PF₁F₂的面積．
（3）若橢圓C具有如下性質：設M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩點，點Q是橢圓上任意一點，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM、K_QN，那么K_QM和K_QN之積是與點Q位置無關的定值．試問：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）是否具有類似的性質？并證明你的結論．通過對上面問題進一步研究，請你概括具有上述性質的二次曲線更為一般的結論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓定義先求m=，再根據點A（1，

3

2

）在橢圓上求n的值，需要主要進行分類討論
（2）利用橢圓定義得 PF₁+PF₂=2m，PF₁²+PF₂²=4，從而有 PF₁PF₂=6，故可求△PF₁F₂的面積；
（3）設M，N是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上關于原點對稱的兩點，點Q是橢圓上任意一點，且直線QM與直線QN的斜率都存在，利用點差法可證

解答：解：（1）當m＞n時，由橢圓定義得 2m=4，∴m=2（2分）
又點A（1，

3

2

）在橢圓上  所以

1

m2

+

9 4

n2

=1， ∴ n2=3
∴

x2

4

+

y2

3

=1 （3分）
同理，當m＜n時，橢圓方程

x2

3

+

y2

4

=1 （4分）
（2）當m＞n時，由橢圓定義得 PF₁+PF₂=2m，PF₁²+PF₂²=4
解得  PF₁PF₂=6             （8分）
所以△PF₁F₂的面積為3
同理，當m＜n時，△PF₁F₂的面積也為3   （10分）
（3）設M，N是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上關于原點對稱的兩點，點Q是橢圓上任意一點，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM，K_QN，那么K_QM，K_QN之積是與點Q位置無關的定值．
設點M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．Q（x₀，y₀）
則

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x02

a2

-

y02

b2

=1
作差得

(y1-y0)(y1+y0)

(x1-x0)(x1+x0)

=

b2

a2

（12分）
所以KQMKQN=

b2

a2

（14分）
設M，N是二次曲線mx²+ny²=1上關于原點對稱的兩點，點Q是二次曲線上任意一點，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM，K_QN，
那么KQMKQN=-

m

n

     （15分）
證明  設點點M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．Q（x₀，y₀）
則mx₁²+ny₁²=1，mx₀²+ny₀²=1
作差得

(y1-y0)(y1+y0)

(x1-x0)(x1+x0)

=-

m

n

∴KQMKQN=-

m

n

  （18分）

點評：本題的考點是橢圓的定義，主要考查橢圓的定義，考查三角形的面積，考查點差法求解斜率問題，綜合性較強．