Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為，Q為l上的動點，以OQ為邊作等邊三角形OPQ，且三點O，P，Q按逆時針方向排列.

（Ⅰ）設點P運動軌跡E的直角坐標方程；

（Ⅱ）若曲線經過伸縮變換得到曲線，若點M為曲線上的動點，且點M到曲線E的最小距離為1，求實數a的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）首先結合題意求得點的極坐標方程，然后將極坐標方程轉化為直角坐標方程即可；

（Ⅱ）首先利用伸縮變換求得的方程，結合參數方程的思想可設，根據點到直線的距離公式轉化為三角函數的關系即可得出結果.

（Ⅰ）設點，則由題意可得點的坐標為，

再由直線的極坐標方程為，

可得，可得，

故點的直角坐標方程為.

（Ⅱ）曲線，伸縮變換即：，

代入整理可得：，

故可設，

（其中為輔助角）

∵，∴當，即，

∴