Question

【題目】設函數，.

（1）當時，求的值域；

（2）當時，不等式恒成立（是的導函數），求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求導，令，求出極值點，利用導數求出函數的單調性，即可得出內的最值，即可得出值域；

（2）根據題意，構造新函數，將不等式的恒成立問題，轉化為在內的恒成立問題，求導，再二次求導，通過單調性求出最值，即可求出參數的取值范圍.

（1）由題可得.

令，得.

當時，，當時，，

所以，

.

因為，所以，

所以的值域為.

（2）由得，

即.

設，則.

設，則.

當時，，，所以.

所以即在上單調遞增，則.

若，則，所以在上單調遞增.

所以恒成立，符合題意.

若，則，必存在正實數，

滿足：當時，，單調遞減，此時，不符合題意.

綜上所述，的取值范圍是.