Question

設圓x²+y²-4x-5=0的弦AB的中點P（3，-1），則直線AB的方程為

x+y-4=0

過原點的直線與圓x²+y²-2x-4y-4=0相交所得的弦長為4，則該直線的方程為

（-2±

2

）x-y=0

．

Answer 1

分析：第一問：先把圓的方程變為標準形式，得到圓心O坐標和半徑，根據垂徑定理可知OP與AB垂直，求出OP的斜率，即可得到哦AB的斜率，寫出AB的方程即可．
第二問：用配方法將圓的方程轉化為標準方程，求出圓心坐標和半徑，設直線方程為y=kx，求出圓心到直線的距離，利用直線和圓相交所成的直角三角形知識求解即可．

解答：解：①由x²+y²-4x-5=0得：（x-2）²+y²=9，得到圓心O（2，0），所以求出直線OP的斜率為

1-0

3-2

=1，
根據垂徑定理可知OP⊥AB
所以直線AB的斜率為-1，過P（3，1），所以直線AB的方程為y-1=-1（x-3）即x+y-4=0
②設直線方程為y=kx，
圓x²+y²-2x-4y-4=0即（x-1）²+（y-2）²=9
即圓心坐標為（1，2），半徑為r=3
因為弦長為4，圓心到直線的距離，

|k-2|

k2+1

=

32-22

，
解得k=-2+

2

或k=-2-

2

，
所以該直線的方程為：y=（-2±

2

）x
故答案為：x+y-4=0；（-2±

2

）x-y=0．

點評：考查學生靈活運用直線與圓相交的性質，直線和圓的相交弦長問題，會根據兩直線垂直得到斜率的乘積為-1，會寫出直線的一般式方程．注意弦長和半徑的關系．