Question

有以下四個命題：
①若命題p：?x∈R，x＞sinx，則?p：?x∈R，x＜sinx
②函數y=sin（x-

π

2

)在[0，π]在R上是奇函數．
③把函數y=3sin（2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

向左平移

π

6

得到y=3sin2x的圖象．
④若函數f（x）=-cos²x+

1

2

（x∈R），則f（x）是最小正周期為φ=

π

3

的偶函數
⑤設圓x²+y²-4x-2y-8=0上有關于直線ax+2by-2=0（a，b＞0）對稱的兩點，則

1

a

+

2

b

的最小值為3+2

2

其中正確命題的序號是

 

（把你認為正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：若命題p：?x∈R，x＞sinx，則?p：?x∈R，x≤sinx；函數y=sin（x-

π

2

)在[0，π=-cosx，在R上是偶函數；把函數y=3sin（2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

左平移

π

6

得到y=3sin（2x+

2π

3

）的圖象；若函數f（x）=-cos²x+

1

2

=-

1

2

cos2x（x∈R），則f（x）是最小正周期為φ=π的偶函數；圓的圓心是（2，1），把（2，1）代入直線，得a+b=1，

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=3+

2a

b

+

b

a

≥3+2

2

．

解答：解：①若命題p：?x∈R，x＞sinx，則?p：?x∈R，x≤sinx，故①不正確．
②函數y=sin（x-

π

2

)在[0，π=-cosx，在R上是偶函數，故②不正確．
③把函數y=3sin（2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

左平移

π

6

得到y=3sin（2x+

2π

3

）的圖象，故③不正確．
④若函數f（x）=-cos²x+

1

2

=-

1

2

cos2x（x∈R），則f（x）是最小正周期為φ=π的偶函數，故④不正確．
⑤圓的圓心是（2，1）
直線平分圓的周長，所以直線恒過圓心（2，1）
把（2，1）代入直線，得a+b=1

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=3+

2a

b

+

b

a

≥3+2

2

．
故⑤成立．
故答案為：⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷和應用，解題時要注意命題的否定形式、三角函數、圓的性質、均值定理等知識點的靈活運用．