Question

【題目】用部分自然數(shù)構(gòu)造如圖的數(shù)表：用表示第行第個(gè)數(shù)，使得，每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和，設(shè)第行中的各數(shù)之和為.

已知，求的值；

令，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列？若存在，求出的關(guān)系，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

（3）數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列.

【解析】

（1）利用數(shù)表，可求b1，b2，b3，b4，并且bn+1=a（n+1）1+a（n+1）2+…+a（n+1）（n+1）=2（an1+an2+…+ann）+2=2bn+2．
（2）由bn+1=2bn+2，可得bn+1+2=2（bn+2），從而{bn+2}是以b1+2=3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可求出{bn}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)p＞q＞r，{bn}是遞增數(shù)列，2bq=bp+br，由此能導(dǎo)出數(shù)列{bn}中不存在不同的三項(xiàng)bp，bq，br恰好成等差數(shù)列．

（1）.

（2）證明：（常數(shù)）

又

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. 故

.

（3）不妨設(shè)數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列.

即

化簡(jiǎn)得：

顯然上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，方程不成立.

故數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列.