Question

【題目】已知中心為坐標原點，焦點在軸上的橢圓的焦距為4，且橢圓過點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若過點的直線與橢圓交于，兩點，，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）方法一：設橢圓方程，由2c＝4，則c＝2，求得焦點坐標，利用兩點之間的距離公式，即可求得a的值，求得b的值，求得橢圓方程；方法二：將M點坐標代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設直線l的方程x＝my+1，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，即可求得m的值，求得直線l的方程．

（1）方法一：設橢圓的標準方程：（a＞b＞0），2c＝4，c＝2，

則焦點坐標為F1（2,0），F2（-2,0），

則|PF1|+|PF2|＝2a，則22a，則a，

b2＝a2﹣c2＝6﹣4＝2，

∴橢圓的標準方程：；

方法二：設橢圓的標準方程：（a＞b＞0），2c＝4，c＝2，b2＝a2﹣c2＝a2﹣4，

將M.代入橢圓方程：．解得：a2＝6，b2＝2，

∴橢圓的標準方程：；

（2））當直線l的斜率為0時，不合題意．

當直線l的斜率不為0，設直線l的方程x＝my+1，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則，整理得：（m2+3）x2+2my﹣5＝0，y1+y2,，

由2，則（1，﹣）＝2（，），則＝﹣2，

則+＝﹣，則，由＝﹣22，則，則5，

解得：＝5，則＝±，

∴直線l的方程為：.．