Question

已知數列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

，…，

1

(3n-2)(3n+1)

，…，計算S₁，S₂，S₃，根據計算結果，猜想S_n的表達式，并用數學歸納法進行證明．

Answer 1

分析：由題意得S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．猜想猜想Sn=

n

3n+1

，n∈N₊，用數學歸納法證明，檢驗n=1時，猜想成立；假設Sk=

k

3k+1

，則當n=k+1時，由條件可得當n=k+1時，也成立，從而猜想仍然成立．

解答：解：S1=

1

1×4

=

1

4

，S2=

1

1×4

+

1

4×7

=

2

7

，
S3=

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

=

3

10

----------（4分）
猜想：Sn=

n

3n+1

----------------------------（6分）
證明：（1）當n=1 時，由上面計算知結論正確．
（2）假設n=k時等式成立，即Sk=

k

3k+1

，
當n=k+1時，Sk+1=Sk+ak+1=

k

3k+1

+

1

(3k+1)(3k+4)

=

k(3k+4)+1

(3k+1)(3k+4)

=

(k+1)(3k+1)

(3k+1)(3k+4)

=

k+1

3(k+1)+1

∴當n=k+1時結論成立，
由（1），（2）知，等式對任意正整數都成立-------------------------（14分）．

點評：本題主要考查數學歸納法的應用，用歸納法證明數學命題時的基本步驟：（1）檢驗n=1成立（2）假設n=k時成立，由n=k成立推導n=k+1成立，要注意由歸納假設到檢驗n=k+1的遞推．