Question

已知數(shù)列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

，…，

1

(3n-2)(3n+1)

，…，
（1）計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）直接計(jì)算
（2）由（1）猜想并進(jìn)行證明

解答：解：（1）S1=

1

4

，S2=

2

7

，S3=

3

10

，S4=

4

13

（2）Sn=

n

3n+1

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，S1=

1

3×1+1

=

1

4

，結(jié)論成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，結(jié)論成立，即Sk=

k

3k+1

當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=Sk+ ak+1 =

k

3k+1

+

1

(3k+1)(3k+4)

=

k(3k+4)+1

(3k+1)(3k+4)

=

(k+1)(3k+1)

(3k+1)(3k+4)

=

k+1

3(k+1)+1

∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立
∴對(duì)于任意的k∈N₊結(jié)論都成立

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，用歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)的基本步驟：（1）檢驗(yàn)n=1成立（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，由n=k成立推導(dǎo)n=k+1成立，要注意由歸納假設(shè)到檢驗(yàn)n=k+1的遞推．