Question

已知數列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

…

1

(3n-2)×(3n+1)

，計算s₁，s₂，s₃，s₄，猜想s_n的表達式，并用數學歸納法證明猜想的正確性．

Answer 1

分析：（1）S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．
（2）由（1）猜想猜想Sn=

n

3n+1

，n∈N₊，用數學歸納法證明，檢驗n=1時，猜想成立；假設Sk=

k

3k+1

，則當n=k+1時，由條件可得當n=k+1時，也成立，從而猜想仍然成立．

解答：解：S1=

1

1•4

=

1

4

，S2=

1

1•4

+

1

4•7

=

2

7

S3=

1

1•4

+

1

4•7

+

1

7•10

=

3

10

，S4=

1

1•4

+

1

4•7

+

1

7•10

+

1

10•13

=

4

13

----------（4分）
猜想：Sn=

n

3n+1

----------------------------（6分）
證明：（1）當n=1 時，由上面計算知結論正確．
（2）假設n=k時等式成立，即Sk=

k

3k+1

，
則當n=k+1時

Sk+1=Sk+ 1 (3k+1)(3k+4) = k 3k+1 + 1 (3k+1)(3k+4) = 3k2+4k+1 (3k+1)(3k+4) = (3k+1)(k+1) (3k+1)(3k+4) = k+1 3k+4 = k+1 3(k+1)+1

即n=k+1時等式成立
由（1），（2）知，等式對任意正整數都成立-------------------------（14分）

點評：本題考查根據遞推關系求數列的通項公式的方法，證明n=k+1時，是解題的難點．