Question

設a，b，c是實數（a＜b），m，n，p是正實數，函數f（x）=（x-a）（x-b）；
（1）證明方程f（x）=p有兩個不等實數根；
（2）設（1）中的方程的兩根為α、β（α＜β），試確定α、β、a、b四個數的大小關系；
（3）設g（x）=f（x）（x-c）-（m+n+p）x+（am+bn+cp），對于（2）中的α、β請判斷g（α）及g（β）的符號．

Answer 1

分析：（1）證明方程f（x）=p有兩個不等實數根，只需要證明方程根的判別式大于0即可；
（2）方程f（x）=p的兩根為α、β（α＜β），即y=f（x）與y=p的圖象交點的橫坐標為α、β，又y=f（x）與y=0的圖象交點的橫坐標為a，b（a＞b），且y=f（x）的圖象開口向上，從而可得結論；
（3）由題意，（α-a）（α-b）=p，g（α）=（a-α）m+（b-α）n，根據a＞α，b＞α，m＞0，n＞0，可得g（α）＞0；同理g（β）=（a-β）m+（b-β）n，根據a＜β，b＜β，m＞0，n＞0，可得g（β）＜0．

解答：（1）證明：由f（x）=p，可化為x²+（a+b）x+ab-p=0
∵△=（a+b）²-4（ab-p）=（a-b）²+4p，p＞0
∴△＞0
故方程f（x）=p有兩個不等實數根
（ 2）解：方程f（x）=p的兩根為α、β（α＜β），即y=f（x）與y=p的圖象交點的橫坐標為α、β，又y=f（x）與y=0的圖象交點的橫坐標為a，b（a＞b），且y=f（x）的圖象開口向上，如圖所示，可知α＜a＜b＜β

（3）解：由題意，（α-a）（α-b）=p
∴g（α）=（α-a）（α-b）（α-c）-（m+n+p）α+（am+bn+cp）=（a-α）m+（b-α）n，
∵a＞α，b＞α，m＞0，n＞0
∴g（α）＞0
同理g（β）=（a-β）m+（b-β）n，
∵a＜β，b＜β，m＞0，n＞0
∴g（β）＜0
故g（α）是正數，g（β）是負數．

點評：本題以二次函數為載體，考查方程根的判斷，考查函數值符號的確定，同時考查了數形結合的數學思想，難度一般．