Question

近幾年來,我國許多地區經常出現干旱現象,為抗旱經常要進行人工降雨.現由天氣預報得知,某地在未來5天的指定時間的降雨概率是:前3天均為50%,后2天均為80%,5天內任何一天的該指定時間沒有降雨,則在當天實行人工降雨,否則,當天不實施人工降雨.
(1)求至少有1天需要人工降雨的概率.
(2)求不需要人工降雨的天數x的分布列和期望.

Answer 1

(1)    (2) x的分布列是:

x	0	1	2	3	4	5
P

3.1

(1)5天全不需要人工降雨的概率是P₁=()³·()²=,故至少有1天需要人工降雨的概率是1-P₁=1-=.
(2)x的取值是0,1,2,3,4,5,由(1)知5天不需要人工降雨的概率是:P(x=5)=P₁=,
4天不需要人工降雨的概率是:
P(x=4)=()³×+()³()²=
=,
3天不需要人工降雨的概率是:
P(x=3)=()³()²+()³()()+()³()²=,
2天不需要人工降雨的概率是:
P(x=2)=()³()²+()³()×()+()³×()²=,
1天不需要人工降雨的概率是:
P(x=1)=()³()²+()³()()=,
0天不需要人工降雨的概率是:
P(x=0)=()³()²=,
故不需要人工降雨的天數x的分布列是:

x	0	1	2	3	4	5
P

不需要人工降雨的天數x的期望是:
E(x)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=3.1.
【方法技巧】求離散型隨機變量均值與方差的基本方法
(1)定義法:已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差,可直接按定義(公式)求解.
(2)性質法:已知隨機變量ξ的均值與方差,求ξ的線性函數η=aξ+b的均值與方差,可直接利用均值、方差的性質求解.
(3)公式法:如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布,二項分布等),可直接利用它們的均值、方差公式求解.