Question

已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為5，從這個圓上任一點p向x軸作垂線PP’，垂足為P’，M為線段PP’上一點，且滿足：=4
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若過電（3，0）且斜率為1的直線交曲線C于A、B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（I）設點M（x，y），點P的坐標為（x，y），由=4，可得：x=x_o，y=y，P（x，y）在圓x²+y²=25上，所以，x²+y²=25，由此能求出點M的軌跡C的方程．
（II）設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），由已知得直線方程：y=x-3，，整理得41x₂-150x-175=0，由韋達定理能導出弦AB的長度．
解答：解：（I）設點M（x，y），點P的坐標為（x，y），由=4，

可得：x=x_o，y=y，
P（x，y）在圓x²+y²=25上，所以，x²+y²=25，
將x_o=x，y=，y代入方程①，得，
故點M的軌跡C的方程為，
（II）設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），由已知得直線方程：y=x-3
，
將（2）代入整理得41x₂-150x-175=0
由偉達定理：．
所以：|AB|===，
故弦AB的長度為．
點評：本題考查點M的軌跡C的方程和求弦AB的長．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．