Question

已知一個圓的圓心為坐標原點O，半徑為2，從這個圓上任意一點P向x軸作垂線PP′，P′為垂足．
（Ⅰ）求線段PP′中點M的軌跡方程； 
（Ⅱ）已知直線x-y-2=0與M的軌跡相交于A、B兩點，求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）圓心為坐標原點O，半徑為2的圓的方程為x²+y²=4，確定M，P之間的關系，利用代入法，即可求得線段PP′中點M的軌跡方程； 
（Ⅱ）直線x-y-2=0與橢圓方程聯立，消去y，求出A，B的坐標，即可求△OAB的面積．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），則P（x，2y）
∵圓心為坐標原點O，半徑為2的圓的方程為x²+y²=4，P在圓上
∴x²+4y²=4
∴線段PP′中點M的軌跡方程為

x2

4

+y2=1； 
（Ⅱ）直線x-y-2=0與橢圓方程聯立，消去y可得5x²-16x+12=0，∴x=

6

5

或x=2
∴A（

6

5

，-

4

5

），B（2，0）
∴S△OAB=

1

2

|OB|h=

1

2

×2×

4

5

=

4

5

．

點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．