Question

設一元二次方程Ax²+Bx+C=0，根據下列條件分別求解．
（1）若A=1，B、C是一枚骰子先后擲兩次出現的點數，求方程有實數根的概率；
（2）設B=-A，C=A-3，A隨機的取實數使方程有實數根，求方程至少有一個非負實數根的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生所包含的事件數36，滿足條件的事件是當A=1時Ax²+Bx+C=0，變為x²+Bx+C=0方程有實數解得B²-4C≥0 顯然B≠1，列舉出所有的事件，得到概率．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發生包含的事件是A隨機的取實數使方程有實數根，根據一元二次方程判別式得到A的范圍，滿足條件的事件是使得方程有至少有一個非負實數根，根據對立事件的概率得到結果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
當A=1時Ax²+Bx+C=0，變為x²+Bx+C=0
方程有實數解得B²-4C≥0 顯然B≠1
若B=2時C=1；1種
若B=3時C=1，2；2種
若B=4時C=1，2，3，4；4種
若B=5時C=1，2，3，4，5，6；6種
若B=6時C=1，2，3，4，5，6；6種故有19種，
方程有實數根的概率是

19

36

（2）B=-A，C=A-3，且方程有實數根，得
A≠0，△=A²-4A（A-3）≥0，得0＜A≤4
而方程有兩個正數根的條件是：A≠0，△=A²-4A（A-3）≥0

A-3

A

＞0
即3＜A≤4
故方程有兩個正數根的概率是

4-3

4-0

=

1

4

而方程至少有一個非負實數根的對立事件是方程有兩個正數根故所求的概率為1-

1

4

=

3

4

點評：本題考查等可能事件的概率，一元二次方程實根分布，是一個綜合題，解題的關鍵是對于一元二次方程的解的情況的分析，解題時有一定難度．