Question

設(shè)函數(shù)．
（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍．

Answer 1

（1）的最大值為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

解析試題分析：（1）先將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出來，并將不等式在上恒成立轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在恒成立，利用列相應(yīng)的不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而確定的最大值；（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值與極小值，由于方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，利用或求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2c/4/zrcnw.png" style="vertical-align:middle;" />,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值為
（2）因?yàn)?當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;
所以 當(dāng)時(shí),取極大值 ;
當(dāng)時(shí),取極小值 ;
故當(dāng) 或時(shí), 方程僅有一個(gè)實(shí)根. 解得 或.
考點(diǎn)：1.二次不等式恒成立；2.函數(shù)的極值；3.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)