Question

對于任意定義在區間D上的函數f（x），若實數x₀∈D滿足f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數f（x）在D上的一個不動點．
（1）求函數f(x)=2x+

1

x

-2在（0，+∞）上的不動點；
（2）若函數f(x)=2x+

a

x

+a，在（0，+∞）上沒有不動點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設函數f(x)=2x+

1

x

-2在（0，+∞）上的不動點為x₀，代入解方程可求
（2）若函數f(x)=2x+

a

x

+a，在（0，+∞）上沒有不動點，則2x+

a

x

+a=x在x∈（0，+∞）沒有實數解，即x²+ax+a=0在x∈（0，+∞）沒有實數解，根據一元二次方程的實根分布可求a的范圍

解答：解：（1）設函數f(x)=2x+

1

x

-2在（0，+∞）上的不動點為x₀
則2x0+

1

x0

-2= x0，且x₀∈（0，+∞）
∴x₀=1
（2）若函數f(x)=2x+

a

x

+a，在（0，+∞）上沒有不動點
則2x+

a

x

+a=x在x∈（0，+∞）沒有實數解
∴x²+ax+a=0在x∈（0，+∞）沒有實數解
∴△=a²-4a＜0或

△=a2-4a≥0 -a＜0 a＞0

∴0＜a＜4或a≥4

點評：本題以新定義為載體，主要考查了一元二次方程的根的求解，及方程的根的分布，要注意方程的根與系數關系的應用．