Question

下面四個計算題中，結果正確的是

①②③

．（填序號）
①若|

a

|=2，|

b

|=3，且

a

與

b

的夾角為60⁰，則|

a

-

b

|=

7

；
②棱長為2正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點A到平面BDD₁B₁的距離為d，則d=

2

；
③棱長都是1的平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=600，則對角線的長AC1=

6

；
④在120⁰的二面角α-AB-β中AC?α，BD?β，AB⊥AC，AB⊥BD，AB=AC=BD=1，則點C與D的距離CD=

2

．

Answer 1

分析：利用平方法，可由已知求出|

a

-

b

|2，進而求出|

a

-

b

|，判斷出①的真假；
根據正方體的幾何特征，可得A與底面中心的之間的距離即為A到對角面的距離，進而判斷出②的真假；
利用余弦定理和三余弦定理，求出棱長都是1且∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=600的平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線AC₁的長，進而判斷③的真假；
利用異面直線上兩點之間距離公式，求出CD的長，可判斷④的真假．

解答：解：∵|

a

|=2，|

b

|=3，且

a

與

b

的夾角為60⁰，∴

a

2=4，

b

2=9，

a

•

b

=3，則|

a

-

b

|2=4+9-2×3=7，則|

a

-

b

|=

7

；
連接AC，BD，交點為O，由正方體的幾何特征可得d=OA=

2

2

AB=

2

；
棱長都是1的平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=600，則AC=

3

，cos∠ACC₁=-

3

3

，由余弦定理可得，對角線的長AC1=

6

；
在120⁰的二面角α-AB-β中AC?α，BD?β，AB⊥AC，AB⊥BD，AB=AC=BD=1，則點C與D的距離CD=2．
故答案為：①②③

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了向量的模，正方體的幾何特征，平行六面體的幾何特征，異面直線上兩點間距離公式，計算量比較大，難度也比較大．